THOUSANDS OF FREE BLOGGER TEMPLATES �

Minggu, 28 November 2010

Film Favorite guE....

Harry Potter

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Untuk karakternya, lihat Harry Potter (karakter).
Untuk film-film Harry Potter, lihat Harry Potter (film).
Harry Potter
Berkas:Potterindo.jpg
Sampul buku pertama seri Harry Potter, Harry Potter dan Batu Bertuah versi bahasa Indonesia
Penulis J. K. Rowling
Negara Inggris
Bahasa Inggris
Genre Fantasi
Penerbit • Bloomsbury Publishing (Inggris)
• Scholastic Corporation (AS)
• Gramedia Pustaka Utama (Indonesia)
• dan lain-lain di berbagai negara.
Tanggal terbit September 2000
Terbitan dalam Bahasa Inggris 26 Juni 1997 (UK)
1 September 1998 (Amerika Serikat)
Harry Potter merupakan salah satu seri novel fantasi karya J. K. Rowling dari Inggris mengenai seorang anak laki-laki bernama Harry Potter. Sejak rilis pertama novel ini, Harry Potter dan Batu Bertuah pada tahun 1997 di Inggris, buku ini telah mendapatkan ketenaran dan kesuksesan secara komersial di seluruh dunia, diangkat menjadi film, video game, dan beragam merchandise.
Latar belakang kisah ini kebanyakan berada di Sekolah Sihir Hogwarts dan berpusat pada pertarungan Harry Potter melawan penyihir jahat Lord Voldemort, yang menggunakan Ilmu Hitam untuk membunuh orang tua Harry.
Kesemua tujuh buku yang direncanakan Rowling dalam seri novel ini telah diterbitkan. Buku keenam, Harry Potter dan Pangeran Berdarah-Campuran versi asli bahasa Inggris diterbitkan pada 16 Juli 2005, sementara buku ketujuh, Harry Potter dan Relikui Kematian diluncurkan di seluruh dunia pada 21 Juli 2007 (versi terjemahan bahasa Indonesia diterbitkan pada tanggal 13 Januari 2008). Enam buku pertama dalam seri novel ini secara keseluruhan telah terjual lebih dari 325 juta kopi, dan telah diterjemahkan ke lebih dari 63 bahasa.[1][2]
Atas kesuksesan novel-novelnya ini, Rowling telah menjadi penulis terkaya sepanjang sejarah kesusasteraan.[3] Versi-versi asli dalam bahasa Inggris diterbitkan oleh penerbit Bloomsbury di Inggris Raya, Scholastic Press di Amerika Serikat, Allen & Unwin di Australia, dan Raincoast Books di Kanada. Versi bahasa Indonesia diterbitkan oleh Gramedia Pustaka Utama.
Lima buku pertama telah diangkat menjadi film layar lebar oleh Warner Bros. dan mendulang kesuksesan besar. Film kelima, Harry Potter and the Order of the Phoenix, mulai diambil gambarnya pada Februari 2006, dan dirilis pada 11 Juli 2007 di Amerika Serikat. Film keenam, Harry Potter and Half Blood Prince, dirilis pada 15 Juli 2009.[4]

Daftar isi

[sembunyikan]

[sunting] Tentang penciptaan Harry Potter

Ide tentang Harry Potter pertama kali tercetus dalam pikiran J. K. Rowling ketika menaiki kereta api dari Manchester ke London pada tahun 1990. Pada waktu itu, dia baru saja bercerai dan mengambil inisiatif untuk menjadikan Harry Potter sebagai inspirasi hidupnya. Dia menghabiskan waktu di dalam perjalanannya itu dengan memikirkan plot yang lengkap tentang ceritanya itu. Di situs webnya, Rowling menceritakan pengalamannya itu:
“ Saya telah menulis hampir tanpa jeda sejak umur enam tapi sebelumnya saya tidak pernah merasa begitu bergairah akan suatu gagasan. Saya hanya duduk dan berpikir, selama empat jam (menunggu keterlambatan kereta api), dan semua detel bermunculan di otak saya, dan anak laki-laki ceking berambut hitam dan berkaca mata yang tidak menyadari bahwa ia adalah seorang penyihir menjadi semakin lama semakin nyata bagi saya. ”
Pada tahun 1995, buku pertama berjudul Harry Potter and Philosopher's Stone (diterjemahkan dalam bahasa Indonesia sebagai Harry Potter dan Batu Bertuah) selesai dibuat dan naskahnya dikirimkan ke beberapa agen. Agen kedua yang dicobanya, Christopher Little, menawari untuk mewakilinya dan mengirimkan naskah itu ke Bloomsbury. Setelah delapan penerbit lainnya menolak Philosopher's Stone, Bloomsbury menawarkan uang muka £3.000 untuk menerbitkannya.[5]
Walaupun Rowling menyatakan bahwa ia tidak memiliki target khusus mengenai umur pembacanya ketika ia mulai menulis buku-buku Harry Potter, penerbitnya pada permulaannya telah menetapkan target pembacanya antara umur sembilan hingga sebelas.[6] Pada malam sebelum penerbitan, Joanne Rowling diminta oleh penerbitnya untuk menggunakan nama samaran yang lebih netral-jender, supaya dapat menarik anak laki-laki dalam jangkauan umur tersebut, karena mereka khawatir bahwa anak laki-laki tidak akan tertarik membaca novel yang mereka ketahui ditulis oleh seorang wanita. Ia memilih untuk menggunakan nama J. K. Rowling (Joanne Kathleen Rowling), mengambil nama neneknya sebagai nama keduanya, karena ia tidak memiliki nama tengah.[7]
Buku pertama Harry Potter diterbitkan di Britania Raya oleh Bloomsbury pada Juli 1997. Di Amerika Serikat buku ini diterbitkan oleh Scholastic pada September 1998, di mana Rowling menerima $105.000 untuk hak penerbitan Amerika Serikat — sebuah nilai yang tidak biasa bagi sebuah buku anak-anak yang dikarang oleh pengarang yang tidak dikenal (pada saat itu).[8] Khawatir bahwa para pembaca di Amerika tidak mengerti kata "philosoper" atau tidak menganggapnya sebagai tema magis (karena "Philosoper's Stone" atau batu filsuf adalah kata dalam bidang alkimia), Scholastic bersikeras untuk mengganti nama buku itu menjadi Harry Potter and the Sorcerer's Stone untuk pasar Amerika.
Selama hampir satu dasawarsa, Harry Potter telah mengalami kesuksesan besar, tidak hanya karena resensi yang positif dan strategi pemasaran penerbit Rowling, tetapi juga karena pembicaraan dari mulut ke mulut di antara para penggemarnya, terutama di antara para remaja laki-laki. Kalangan remaja laki-laki ini menjadi penting, karena selama bertahun-tahun kalangan ini semakin tidak tertarik dengan bacaan yang dianggap ketinggalan zaman ketimbang video game dan internet. Penerbit Rowling berhasil menangkap kegairahan di kalangan remaja laki-laki ini dan segera merilis keempat buku pertama berturut-turut secara cepat, sehingga kegairahan mereka tidak sempat meredup ketika Rowling bermaksud untuk istirahat menulis di antara rilis Harry Potter dan Piala Api dan Harry Potter dan Orde Phoenix, dan dengan segera terbentuklah grup pembaca yang loyal.[9] Seri ini juga mendapatkan para penggemar dewasa, dengan diterbitkannya dua edisi untuk setiap buku Harry Potter (di Kanada dan Britania Raya, tapi tidak di Amerika Serikat). Keduanya memiliki naskah yang sama persis, tetapi dengan sampul yang berbeda, untuk masing-masing edisi anak-anak dan dewasa.[10]

[sunting] Kisah

Perhatian: Bagian di bawah ini mungkin akan membeberkan isi cerita yang penting atau akhir kisahnya.

[sunting] Ringkasan plot

Untuk sinopsis per novel, lihat artikel yang relevan di masing-masing seri.
Kisah dibuka dengan perayaan tak terkendali di dunia sihir (yang biasanya merupakan komunitas yang rahasia) setelah bertahun-tahun mengalami teror oleh Lord Voldemort. Pada malam sebelumnya, Voldemort telah menemukan tempat perlindungan rahasia keluarga Potter, dan membunuh James dan Lily Potter. Namun demikian, ketika ia mengarahkan tongkat sihirnya kepada bayi mereka, Harry, kutukan pembunuh yang dikeluarkannya malah membalik kepada dirinya sendiri. Arwah Voldemort tercabik dari tubuhnya sendiri yang hancur, menghilang dari dunia sihir, tapi tidak mati. Sementara itu, satu-satunya hasil dari kutukan yang gagal itu meninggalkan bekas yang khusus di dahinya, cacat berbentuk sambaran kilat. Kekalahan misterius Voldemort memberikan Harry sebutan khusus di kalangan dunia sihir, "Anak Laki-Laki yang Bertahan Hidup". Sebutan ini khususnya dikarenakan tidak ada penyihir yang diarah oleh Voldemort dapat bertahan hidup melawannya.
Pada malam berikutnya, seorang penyihir membawa Harry ke rumah Bibi dan Pamannya, Dursley, tempat di mana ia akan tinggal bertahun-tahun setelahnya. Keluarga Dursley adalah famili Harry yang kejam dan merupakan orang-orang non-penyihir. Mereka senantiasa berusaha menyembunyikan latar belakang Harry yang merupakan penyihir dan keturunan penyihir, dan memberinya hukuman jika terjadi kejadian-kejadian aneh.
Pada ulang tahunnya yang kesebelas, Harry mendapatkan kontak pertamanya dengan dunia sihir, ketika ia menerima surat dari Sekolah Sihir Hogwarts, yang berusaha disembunyikan oleh Paman dan Bibinya, hingga ia tidak berhasil membaca surat tersebut. Surat itu pada akhirnya dapat dibacanya setelah ia ditemui oleh Hagrid, Pengawas Binatang Liar di Hogwarts. Hagrid memberitahunya bahwa ia sesungguhnya adalah seorang penyihir, dan surat itu memberitahunya bahwa ia disediakan tempat untuk belajar di Hogwarts. Setiap jilid dari novel Harry Potter mengisahkan mengenai satu tahun kehidupan Harry, yang kebanyakan dihabiskannya dalam pelajaran di Hogwarts, di mana ia mempelajari penggunaan sihir dan membuat ramuan. Harry juga mempelajari bagaimana mengatasi rintangan-rintangan sihir, sosial, dan emosi selama masa remajanya. Dalam periode yang sama, Voldemort juga berusaha untuk kembali ke tubuh fisiknya dan mengembalikan seluruh kekuatannya, sementara Kementrian Sihir berusaha juga untuk menolak untuk mengakui adanya ancaman akan kembalinya Voldemort. Penolakan Kementerian Sihir ini kemudian menyebabkan banyak kesulitan bagi Harry Potter.

[sunting] Dunia Harry Potter

Dunia sihir dalam kisah Harry Potter adalah dunia yang ada di dunia kita sekarang tapi juga sekaligus terpisah sama sekali secara sihir. Kalau diperbandingkan, dalam kisah fantasi Narnia dunia sihirnya merupakan dunia alternatif, sementara dalam Lord of the Rings Bumi-Tengah merupakan dunia mite pada masa lampau. Lingkungan sihir Harry Potter dikisahkan berada di tengah-tengah dunia kita saat ini, dengan benda-benda sihir yang mirip dengan benda-benda di lingkup non-sihir. Lembaga-lembaga dan lokasi-lokasinya pun mirip atau malah sama dengan yang berada di dunia nyata, seperti London. Lingkungan sihir sama sekali tidak dapat terlihat oleh populasi non-sihir (atau Muggle, misalnya: Keluarga Dursley).
Bakat sihir adalah kemampuan alami yang telah ada sejak lahir, tidak dapat muncul karena dipelajari. Mereka yang memiliki bakat sihir harus mengikuti pelajaran di sekolah-sekolah seperti Hogwarts untuk dapat menguasai dan mengontrolnya. Namun demikian, ada kemungkinan anak-anak yang lahir di keluarga penyihir yang hanya memiliki sedikit bakat sihir atau malah tidak ada sama sekali (disebut "Squibs", misalnya Mrs. Figg, Argus Filch). Para penyihir belum tentu dilahirkan dalam keluarga penyihir, dan banyak dari mereka yang dilahirkan dari orang tua (para Muggle) yang sama sekali tidak mengenal sihir. Mereka yang murni berdarah penyihir seringkali tidak terbiasa dengan dunia Muggle, malah terasa lebih aneh bagi mereka ketimbang kita memandang dunia mereka. Namun demikian, dunia sihir dan elemen-elemennya yang menakjubkan itu digambarkan sebagai dunia-yang-sangat-mirip-dengan-dunia-nyata. Salah satu tema utama dalam novel ini adalah keberadaan dunia sihir dan dunia biasa; di mana para tokohnya hidup dalam lingkungan yang memiliki masalah-masalah yang "normal", sekalipun mereka hidup di antara sihir.

[sunting] Hal-hal yang berulang

  • Kemurnian darah (Harry Potter):
    Para penyihir pada umumnya memandang Muggle dengan sikap merendahkan dan curiga, masalahnya, sikap ini menjadi kefanatikan bagi sebagian kecil penyihir. Mereka yang fanatik ini mengkotak-kotakkan diri mereka atas dasar banyaknya leluhur mereka, di mana penyihir "berdarah-murni" (mereka yang keluarganya seluruhnya adalah penyihir) dianggap sebagai yang paling tinggi, penyihir "berdarah-campuran" (mereka yang memiliki keturunan penyihir dan Muggle) pada tingkat menengah, dan "kelahiran-Muggle" (mereka yang tanpa keturunan penyihir) sebagai yang terendah. Para pendukung kemurnian-darah percaya bahwa hanya mereka yang "berdarah-murni"-lah yang berhak mengontrol dunia sihir, dan tidak menganggap bahwa penyihir "kelahiran-Muggle" sebagai penyihir yang sesungguhnya. Beberapa dari mereka bahkan bertindak terlalu jauh dengan membunuhi para "kelahiran-Muggle" supaya jangan dapat mempelajari sihir. Kebanyakan kaum fanatik ini adalah berdarah-murni, sekalipun perlu dicatat bahwa Voldemort, yang mendukung fanatisme ini, sesungguhnya adalah penyihir berdarah-campuran. Selain itu, sebenarnya hanya tinggal sedikit sekali penyihir yang benar-benar berdarah-murni, oleh karena tanpa menikah dengan populasi Muggle, para penyihir lama kelamaan akan habis. Namun demikian, banyak keluarga penyihir yang menutupi bahwa ada di antara keluarga mereka yang menikahi kaum Muggle. Salah satu contoh keluarga seperti ini adalah dalam keluarga Black.[HP5]

  • Burung hantu

[sunting] Karakter

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar tokoh dalam seri Harry Potter

[sunting] Struktur dan genre

[sunting] Tema dan motif

[sunting] Kritik dan pujian

[sunting] Kontroversi

[sunting] Publikasi Buku The Half-Blood Prince sebelum tanggal peluncuran

Publikasi besar-besaran Half-Blood Prince diwarnai dengan kontroversi yang tak terelakkan dan tidak terduga sebelumnya. Pada Mei 2005, para petaruh di Inggris menangguhkan taruhan mengenai tokoh utama mana yang akan tewas dalam buku tersebut karena kekhawatiran akan adanya petaruh dengan pengetahuan orang-dalam. Sejumlah taruhan besar dibuat untuk kematian Albus Dumbledore, kebanyakan berasal dari Bungay, Suffolk, tempat di mana buku-buku tersebut dicetak. Pertaruhan kemudian dibuka kembali. Kontroversi lainnya termasuk "hak membaca" buku-buku Potter yang tidak sengaja terjual sebelum tanggal peluncurannya, masalah lingkungan mengenai sumber dari kertas yang dipergunakna untuk mencetak jutaan buku tersebut, dan reaksi penggemar terhadap perkembangan plot dan pengungkapan dalam novel tersebut.
Pada awal Juli 2005, Real Canadian Superstore, sebuah toko retail besar di Coquitlam, British Columbia, Kanada, secara tidak sengaja menjual empat belas buku The Half-Blood Prince sebelum tanggal peluncuran yang resmi. Penerbit Kanada, Raincoast Books, mendapatkan perintah keras dari Mahkamah Agung British Columbia untuk melarang pembelinya membaca buku-buku tersebut sebelum tanggal rilis resmi dan melarang mereka untuk membicarakan isinya.
Para pembeli tersebut ditawari sebuah kaus Harry Potter dan buku yang telah ditandatangani penulisnya jika mereka mengembalikan buku-buku itu sebelum 16 Juli 2005.
Pada 15 Juli 2005, kurang dari 12 jam sebelum buku ini resmi diluncurkan, Raincoast memperingatkan koran The Globe and Mail yang mempublikasikan sebuah resensi dari seorang penulis Kanada pada tengah malam, sebagaimana dijanjikan koran tersebut, sebagai pelanggaran atas perintah pengadilan akan kerahasiaan perdagangan. Perintah pengadilan ini dengan segera menjadi berita di berbagai artikel berita yang menyatakan bahwa perintah itu telah melanggar hak-hak asasi. Seorang guru besar hukum Kanada, Michael Geist mengomentari masalah ini dalam weblognya.[rujukan?] Richard Stallman, seorang aktivis lingkungan dan pendiri GPL menyerukan pemboikotan, dan meminta penerbitnya untuk meminta maaf. The Globe and Mail mempublikasikan resensi dari dua orang penulis dari Inggris pada edisi 16 Juli, dan mempublikasikan resensi dari penulis asal Kanada tadi pada situs web mereka pada pukul 9 pagi. Penjelasan juga tersedia di situs web Raincoast.
Selain kontroversi tersebut di atas, pada minggu yang sama, sebuah toko swalayan Chicago, Walgreens, secara tidak sengaja[rujukan?] juga menjual sebuah buku tersebut. Ketika si pembeli membaca mengenai insiden di Kanada di Internet, pembeli ini menyatakan bahwa ia tidak akan mengembalikan buku tersebut, tapi ia tidak akan membaca novel tersebut hingga tanggal rilis Amerika Serikat.

[sunting] Kontroversi Lingkungan Hidup

Buku Harry Potter ini juga membuat kontroversi pada masalah lingkungan hidup. Sebelum dan sesudah peluncuran buku tersebut, organisasi lingkungan Greenpeace dan National Wildlife Federation, mendorong konsumen di Amerika Serikat yang berencana membeli Harry Potter and the Half-Blood Prince untuk membelinya dari terbitan Kanada, Raincoast Books, yang mencetaknya di atas kertas daur ulang 2%, bebas-klorin, dan tidak menggunakan bahan dari pepohonan purba. Edisi Amerika Serikat pada buku tersebut, yang diterbitkan oleh Scholastic Press, dicetak di atas kertas yang tidak diketahui kadar persentase daur ulangnya, karena Scholastic menolak untuk mengumumkannya kepada publik. Namun Scholastic mengklaim di halaman terakhir buku tersebut, bahwa buku itu tidak menggunakan serat kayu dari pepohonan purba.

[sunting] Film-film

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Harry Potter (film)

[sunting] Penghargaan

[sunting] Kesuksesan komersial

Seri film Harry Potter adalah sebuah seri film fantasi berdasarkan novel Harry Potter karya seorang penulis berkebangsaan Inggris, J. K. Rowling. Film ini merupakan salah satu film dengan keuntungan kotor terbesar sepanjang masa senilai $3,5 miliar, di bawah serial-serial James Bond ($4,3 miliar) dan Star Wars ($6 miliar). Namun demikian, seri Harry Potter merupakan film dengan keuntungan kotor terbesar di dunia untuk kategori film yang diadaptasi dari buku, dan mengalahkan trilogi film The Lord of the Rings ($2,9 miliar)[rujukan?]

[sunting] Pengaruh terhadap kebudayaan

[sunting] Pengaruh terhadap kebudayaan pop

[sunting] Kelanjutan

Pada saat ini masih ada dua film Harry Potter yang akan dirilis. Film keenam, Half-Blood Prince sudah dirilis pada Juli 2009 dan film ketujuh, the Deathly Hallows.

[sunting] Seri-seri Harry Potter

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Harry Potter (buku)
  1. Harry Potter and the Sorcerer's Stone (Harry Potter and the Philosopher's Stone di negara lain selain U.S)
    • Penayangan perdana: 16 November 2001
    • Sutradara: Chris Columbus
  2. Harry Potter and the Chamber of Secrets
    • Penayangan perdana: 15 November 2002
    • Sutradara: Chris Columbus
  3. Harry Potter and the Prisoner of Azkaban
    • Penayangan perdana: UK: 31 Mei, USA: 4 Jun 2005
    • Sutradara: Alfonso Cuarón
  4. Harry Potter and the Goblet of Fire
  5. Harry Potter and the Order of the Phoenix
    • Penayangan perdana: 13 Juli 2007
    • Sutradara: David Yates
  6. Harry Potter and the Half-Blood Prince
    • Penayangan perdana: Diperkirakan tahun 2009 (Juli)
    • Sutradara: David Yates
  7. Harry Potter and the Deathly Hallows
    • Mula ditayangkan: 2010
    • Sutradara: Belum diketahui

[sunting] Buku terkait

[sunting] Lihat pula

Portal.svg Portal Harry Potter
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Jangka ( alat pengukur Matematika )

Jangka

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Sebuah jangka
Jangka adalah alat untuk menggambar lingkaran atau busur. Alat ini juga dapat digunakan untuk mengukur jarak, terutama pada peta. Jangka digunakan dalam matematika, gambar teknis, navigasi, dan lain-lain.
Jangka biasanya terbuat dari besi, dan terdiri dari dua bagian/kaki yang dihubungkan oleh engsel dan bisa diatur pembukaannya. Salah satu kaki mempunyai jarum di ujungnya, dan pensil di kaki yang lain, atau bisa juga memakai pena. Lingkaran bisa dibuat dengan menancapkan kaki yang berjarum di atas kertas dan menyentuhkan pensil ke permukaan kertas, lalu memutar pensil dengan tumpuan kaki berjarum sambil menjaga sudut engsel untuk tidak berubah. Jari-jari lingkaran bisa diubah dengan mengubah sudut yang dibentuk oleh engsel.
Jarak di peta bisa diukur dengan menggunakan jangka yang mempunyai jarum di kedua kakinya. Engselnya diatur sedemikian rupa sehingga jarak antara dua jarum di peta mewakili jarak tertentu di kenyataan. Dengan menghitung berapa kali jangka harus melompat di antara dua titik di peta, jarak antara dua titik tersebut bisa dihitung.
Diperoleh dari "http://id.wikipedia.org/wiki/Jangka"
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Leonhard Euler ( MateMatikaWaN )

Leonhard Euler

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Leonhard Euler
Potret oleh Emanuel Handmann 1756(?)
Potret oleh Emanuel Handmann 1756(?)
Lahir 15 April 1707
Basel, Switzerland
Wafat 18 September 1783 (umur 76)
[OS: 7 September 1783]
St. Petersburg, Rusia
Tempat tinggal Prusia, Rusia
Swiss
Warga negara Swiss
Bidang fisikawan dan matematikawan
Alma mater Universitas Basel
Pembimbing doktoral Johann Bernoulli
Murid bimbingan Joseph Louis Lagrange
Agama Calvinis[1][2]
Dia adalah ayah matematikawan Johann Euler
Menurut otoritas genealogi akademik dia dianggap setara dengan penasihat doktoral.
Leonhard Euler (lahir di Basel, Swiss, 15 April 1707 – meninggal di St. Petersburg, Rusia, 18 September 1783 pada umur 76 tahun) (dilafalkan "oiler") adalah matematikawan dan fisikawan Swiss. Ia dipandang (bersama Archimedes, Gauss, dan Newton) sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa.
Euler menyumbangkan berbagai penemuan penting di bidang-bidang yang beragam seperti kalkulus dan teori graf. Dia juga memperkenalkan terminologi dan notasi matematika modern, terutama untuk analisis matematika, seperti konsep fungsi matematika.[3] Dia juga dikenal dengan karya-karyanya dalam bidang mekanika, dinamika fluida, optika dan astronomi.
Dia merupakan salah satu matematikawan paling subur. Kumpulan karyanya memenuhi 60-80 volume kuarto[4]. Pernyataan yang disebutkan berasal dari Pierre-Simon Laplace menyatakan pengaruh Euler dalam matematika: "Baca Euler, baca Euler, dialah tuan kita semua."[5]
Euler ditampilkan pada seri keenam uang kertas 10 franc dan pada banyak perangko Swiss, Jerman dan Rusia. Untuk menghormatinya, nama salah satu asteroid, 2002 Euler berasal dari namanya. Dia juga dikenang oleh Gereja Lutheran pada kalender para Santa Lutheran pada tanggal 24 Mei. Euler merupakan penganut taat agama Kristen, dan mempercayai bahwa Alkitab bersih dari kesalahan, dan berargumen sengit melawan para ateis ternama pada zamannya.[6]
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Matematika ( KaLkuLus )

Kalkulus

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Topik dalam kalkulus
Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata
Turunan
Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan
Integral
Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Daftar isi

[sembunyikan]

[sunting] Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

[sunting] Perkembangan

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2]
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10]
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[11]

[sunting] Pengaruh penting

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

[sunting] Prinsip-prinsip dasar

[sunting] Limit dan kecil tak terhingga

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit
Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: 0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
\lim_{x \to p}{f(x)}=L
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,

[sunting] Turunan

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan
Grafik fungsi turunan.
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}} ,
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Perhatikan bahwa ekspresi {f(x+h) - f(x)\over{h}} pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):
\begin{align} f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6 \end{align}
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

[sunting] Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),  ataupun  \frac{d}{dx}f(x).
Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka \dot{y} mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
D_x y\,   atau   D_x f(x)\,.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

 Notasi Leibniz Notasi Lagrange Notasi Newton Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x \frac{d}{dx}f(x) ƒ′(x) \dot{y}
dengan y = ƒ(x)		 D_x f(x)\,

[sunting] Integral

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah \int \,, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

[sunting] Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
\int_a^b f(x)\,dx \, ,
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!
Himpunan P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\, tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i
Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi \lVert P \rVert mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} di sepanjang [a,b] dengan \lVert P \rVert < \delta dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.
Secara matematis dapat kita tuliskan:
\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu \int_0^b x\, dx, yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu \int_0^b x\, dx sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah \lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i
Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\} dan t_i = \frac{ib}{n}, sehingga:
\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi \lVert P \rVert mendekati 0, maka didapatkan:
\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

[sunting] Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
\int f(x) dx = F(x) + C
di mana
F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x2, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk \int_a^b f(x) dx adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :\int f(x) dx adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

[sunting] Teorema dasar

!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar kalkulus
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral \int_a^b x\, dx, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi f(x)= x\, adalah F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu \int_a^b x \,dx adalah:
\begin{align} \int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\ \end{align}
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2}
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

[sunting] Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)